由于x∈（0，1），可得f(x)=

ax

1+x2

=

a

1 x +x

∵

1

x

+x≥2

1 x ?x

=2，∴当且仅当

1

x

=x，即x=1时

1

x

+x有最小值2

由此可得t=

1

1 x +x

在x=1时有最大值

1

2

函数t=

1

1 x +x

在区间（0，1）上是增函数，在区间（1，+∞）上是减函数

∴当a＞0时，函数f（x）=

a

1 x +x

在区间（0，1）上是增函数；

当a＜0时，函数f（x）=

a

1 x +x

在区间（0，1）上是减函数

即当a＞0时，f(x)=

ax

1+x2

在区间（0，1）上为增函数，当a＜0时，f(x)=

ax

1+x2

在区间（0，1）上为增函数．