问题
解答题
已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F（2，0）的距离为
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程； （Ⅱ）若椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线l的斜率． |
答案
（Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)，y2 b2
则a=
，c=2．10
所以b=
=a2-c2
=10-4
，6
所以椭圆方程为
+x2 10
=1．y2 6
（Ⅱ）若直线l⊥x轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线l对称，此时点C坐标为（2c，0）．
因为2c＞a，所以点C在椭圆外，所以直线l与x轴不垂直．
于是，设直线l的方程为y=k（x-2），点A（x1，y1），B（x2，y2），
则
，整理得，（3+5k2）x2-20k2x+20k2-30=0，
+x2 10
=1y2 6 y=k(x-2)
x1+x2=
，所以y1+y2=-20k2 3+5k2
．12k 3+5k2
因为四边形AOBC为平行四边形，所以
+OA
=OB
，OC
所以点C的坐标为(
，-20k2 3+5k2
)，12k 3+5k2
所以
+(
)220k2 3+5k2 10
=1，解得k2=1，(-
)212k 3+5k2 6
所以k=±1．