问题
解答题
椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点B(
（1）求椭圆的方程； （2）是否存在斜率k≠0的直线l：y=kx-2，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足|
|
答案
（1）依题意，设椭圆方程为
+x2 a2
=1 ( a＞b＞0 )，y2 b2
则其右焦点坐标为F(c ， 0 ) ，c=
，（1分）a2-b2
由|FB|=2，得
=2，(c-
)2+(0-2
)22
即(c-
)2+2=4，解得c=22
．（3分）2
又∵b=2，∴a2=c2+b2=12，即椭圆方程为
+x2 12
=1．（4分）y2 4
（2）由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，
由
消去y得x2+3（kx-2）2=12y=kx-2
+x2 12
=1y2 4
即（1+3k2）x2-12kx=0（6分）
由k≠0，得方程的△=（-12k）2=144k2＞0，即方程有两个不相等的实数根． （7分）
设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），
则x1+x2=
，∴x0=12k 1+3k2
=x1+x2 2
，6k 1+3k2
∴y0=kx0-2=
=6k2-2 (1+3k2) 1+3k2
，即P (-2 1+3k2
， 6k 1+3k2
)，（9分）-2 1+3k2
∵k≠0，∴直线AP的斜率为k1=
=
-2-2 1+3k2 6k 1+3k2
，（10分）-2-2(1+3k2) 6k
由AP⊥MN，得
×k=-1，（11分）-2-2(1+3k2) 6k
∴2+2+6k2=6，解得：k=±
，即tanα=±3 3
，（12分）3 3
又0≤α＜π，故α=
，或α=π 6
，5π 6
∴存在直线l满足题意，其倾斜角α=
，或α=π 6
．（13分）5π 6