已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过

问题解答题

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知e=(t，0)，p=λ(

)，是否对任意的正实数t，λ，都有

•

=0成立？请证明你的结论．

答案

（1）设椭圆方程为

=1(a＞b＞0)

则

a=2b

，解得

a2=8

b2=2

，

∴椭圆方程

=1．

（2）若

•

=0成立，则向量

=λ(

)与x轴垂直，

由菱形的几何性质知，∠AMB的平分线应与x轴垂直．为此只需考察直线MA，MB的倾斜角是否互补即可．

由已知，设直线l的方程为：y=

x+m

由

x+m

，∴x2+2mx+2m2-4=0

设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，

只需证明k₁+k₂=0即可，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

由x²+2mx+2m²-4=0可得，

x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，而

k1+k2=

y1-1

x1-2

y2-1

x2-2

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

(

x1+m-1)(x2-2)+(

x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0，

∴k₁+k₂=0，

直线MA，MB的倾斜角互补．

故对任意的正实数t，λ，都有

•

=0成立．