问题
解答题
已知椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点，且离心率为
（I）求椭圆的标准方程； （II）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若
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答案
（I）设椭圆方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)，y2 b2
因为椭圆与双曲线有相同焦点，
所以c=
，再由e=2
=c a
可得a=2，∴b2=a2-c2=2，2 2
故所求方程为
+x2 4
=1；y2 2
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
=2AP
，得PB
，-x1=2x2 1-y1=2(y2-1)
设直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理，得（2k2+1）x2+4kx-2=0，
解得x=
，-2k± 8k2+2 2k2+1
若x1=
，x2=-2k- 8k2+2 2k2+1
，-2k+ 8k2+2 2k2+1
则-
=2•-2k- 8k2+2 2k2+1
，-2k+ 8k2+2 2k2+1
解得k2=
，1 14
又△AOB的面积S=S△OAP+S△OBP=
|OP|•|x1-x2|=1 2
×1 2 1+k2
=(x1+x2)2-4x1x2
•1 2
=2 8k2+2 2k2+1
，126 8
故所求△AOB的面积是
．126 8
