已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率32，椭圆C上任一点到两

问题解答题

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率

，椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4，直线l过点P（1，0）与椭圆C交于不同的两点A，B．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若

=λ

，试求实数λ的取值范围．

答案

（I）∵椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率

，

椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4，

∴

2a=4

a2=b2+c2

，

解得a=2，c=

，b=1，

∴椭圆C的方程为：

+y2=1．

（II）∵直线l过点P（1，0），

①当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程是x=1，

此时

，λ=1；

②当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y=k（x-1），

由

y=k(x-1)

+y2=1

，得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，

△=64k⁴-4（4k²+1）（4k²-4）=48k²+16＞0，直线与圆恒有公共点，下对参数的取值范围进行讨论

当k=0时，A（2，0），B（-2，0），P（1，0），或B（2，0），A（-2，0），P（1，0），

当A（2，0），B（-2，0），P（1，0）时，

=(-1，0)，

=(-3，0)

λ_min=

；

当B（2，0），A（-2，0），P（1，0）时，

=(3，0)，

=(1，0)

λ_max=

=3．

∴实数λ的取值范围是[

，3]．

故实数λ的取值范围是[

，3]．