问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值； （3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
|
答案
（1）由题意：
，解得：a=2，b=c=1 e=
=c a 1 2 a2=b2+c2 3
所以椭圆C：
+x2 4
=1；y2 3
（2）由（1）可知A1(0，
)，A2(0，-3
)，设Q（x0，y0），3
直线QA1：y-
=3
x，令y=0，得xS=y0- 3 x0
； -
x03 y0- 3
直线QA2：y+
=3
x，令y=0，得xT=y0+ 3 x0
；
x03 y0+ 3
则|OS|•|OT|=|
•-
x03 y0- 3
|=|
x03 y0+ 3
|，3 x 20
-3y 20
而
+x 20 4
=1，所以3y 20 3
=4(3-x 20
)，y 20
所以|OM|•|ON|=|
|=4；3 x 20
-3y 20
（3）假设存在点M（m，n）满足题意，则
+m2 4
=1，即m2=4-n2 3
n2．4 3
设圆心到直线l的距离为d，则d=
，且d＜2 m2+n2
．4 7 7
所以|AB|=2
=2
-d216 7
．
-16 7 4 m2+n2
所以S△OAB=
•|AB|•d=1 2
．
(4 m2+n2
-16 7
)4 m2+n2
因为d＜
，所以m2+n2＞4 7 7
，所以7 4
-16 7
＞0．4 m2+n2
所以S△OAB=
≤
(4 m2+n2
-16 7
)4 m2+n2
)2=(
+4 m2+n2
-16 7 4 m2+n2 2
．8 7
当且仅当
=4 m2+n2
-16 7
，即m2+n2=4 m2+n2
＞7 2
时，S△OAB取得最大值7 4
．8 7
由
，解得m2+n2= 7 2 m2=4-
n24 3
．m2=2 n2= 3 2
所以
或m= 2 n= 6 2
或m= 2 n=- 6 2
或m=- 2 n= 6 2
．m=- 2 n=- 6 2
所以存在点M满足题意，点M的坐标为
(
，2
)，(6 2
，-2
)，(-6 2
，2
)或(-6 2
，-2
)．6 2
此时△OAB的面积为
．8 7