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问题 解答题
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
答案

（1）由题意：

c=1
e=
c
a
=
1
2
a2=b2+c2
，解得：a=2，b=
3

所以椭圆C：

x2
4
+
y2
3
=1；

（2）由（1）可知A1(0，

3
)，A2(0，-
3
)，设Q（x0，y0），

直线QA1：y-

3
=
y0-
3
x0
x，令y=0，得xS=
-
3
x0
y0-
3
；     

直线QA2：y+

3
=
y0+
3
x0
x，令y=0，得xT=
3
x0
y0+
3
；

则|OS|•|OT|=|

-
3
x0
y0-
3
•
3
x0
y0+
3
|=|
3
x20
y20
-3
|，

而

x20
4
+
y20
3
=1，所以3
x20
=4(3-
y20
)，

所以|OM|•|ON|=|

3
x20
y20
-3
|=4；

（3）假设存在点M（m，n）满足题意，则

m2
4
+
n2
3
=1，即m2=4-
4
3
n2．

设圆心到直线l的距离为d，则d=

2
m2+n2
，且d＜
4
7
7
．

所以|AB|=2

16
7
-d2
=2
16
7
-
4
m2+n2
．

所以S△OAB=

1
2
•|AB|•d=
4
m2+n2
(
16
7
-
4
m2+n2
)
．

因为d＜

4
7
7
，所以m2+n2＞
7
4
，所以
16
7
-
4
m2+n2
＞0．

所以S△OAB=

4
m2+n2
(
16
7
-
4
m2+n2
)
≤
(
4
m2+n2
+
16
7
-
4
m2+n2
2
)2=
8
7
．

当且仅当

4
m2+n2
=
16
7
-
4
m2+n2
，即m2+n2=
7
2
＞
7
4
时，S△OAB取得最大值
8
7
．

由

m2+n2=
7
2
m2=4-
4
3
n2
，解得
m2=2
n2=
3
2
．

所以

m=
2
n=
6
2
或
m=
2
n=-
6
2
或
m=-
2
n=
6
2
或
m=-
2
n=-
6
2
．

所以存在点M满足题意，点M的坐标为

(

2
，
6
2
)，(
2
，-
6
2
)，(-
2
，
6
2
)或(-
2
，-
6
2
)．

此时△OAB的面积为

8
7
．

阅读理解与欣赏

阅读下面的文字，完成下面问题。

雨 前

何其芳

　　最后的鸽群带着低弱的笛声在微风里划一个圈子后，也消失了。也许是误认这灰暗的凄冷的天空为夜色的来袭，或是也预感到风雨的将至，遂过早地飞回它们温暖的木舍。

　　几天的阳光在柳条上撒下的一抹嫩绿，被尘土埋掩得有憔悴色了，是需要一次洗涤。还有干裂的大地和树根也早已期待着雨。雨却迟疑着。

　　我怀想着故乡的雷声和雨声。那隆隆的有力的搏击，从山谷返响到山谷，仿佛春之芽就从冻土里震动，惊醒，而怒茁出来。细草样柔的雨声又以温存之手抚摩它，使它簇生油绿的枝叶而开出红色的花。这些怀想如乡愁一样萦绕得使我忧郁了。我心里的气候也和这北方大陆一样缺少雨量，一滴温柔的泪在我枯涩的眼里，如迟疑在这阴沉的天空里的雨点，久不落下。

　　白色的鸭也似有一点烦躁了，有不洁的颜色的都市的河沟里传出它们焦急的叫声。有的还未厌倦那船一样的徐徐的划行，有的却倒插它们的长颈在水里，红色的蹼趾伸在尾巴后，不停地扑击着水以支持身体的平衡。不知是在寻找沟底的细微的食物，还是贪那深深的水里的寒冷。

　　有几个已上岸了。在柳树下来回地作绅士的散步，舒息划行的疲劳。然后参差地站着，用嘴细细地梳理它们遍体白色的羽毛，间或又摇动身子或扑展着阔翅，使那缀在羽毛间的水珠坠落。一个已修饰完毕的，弯曲它的颈到背上，长长的红嘴藏没在翅膀里，静静合上它白色的茸毛间的小黑眼睛，仿佛准备睡眠。可怜的小动物，你就是这样做你的梦吗？

　　我想起故乡放雏鸭的人了。一大群鹅黄的雏鸭游牧在溪流间。清浅的水，两岸青青的草，一根长长的竹竿在牧人的手里。他的小队伍是多么欢欣地发出啁啾声，又多么驯服地随着他的竿头越过一个山野又一个山坡。夜来了，帐幕似的竹篷撑在地上，就是他的家。但这是怎样辽远的想象呵！在这多尘土的国土里，我仅只希望听见一点树叶上的雨声。一点雨声的幽凉滴到我憔悴的梦，也许会长成一树圆圆的绿阴来覆荫我自己。

　　我仰起头。天空低垂如灰色的雾幕，落下一些寒冷的碎屑到我脸上。一只远来的鹰隼仿佛带着怒愤，对这沉重的天色的怒愤，平张的双翅不动地从天空斜插下，几乎触到河沟对岸的土阜，而又鼓扑着双翅，作出猛烈的声响腾上了。那样巨大的翅使我惊异，我看见了它两肋间斑白的羽毛。接着听见了它有力的鸣声，如同一个巨大的心的呼号，或是在黑暗里寻找伴侣的叫唤。

　　然而雨还是没有来。

　　[注]《雨前》写于1933年春。当时中国政治气氛沉闷，民族危机深重，作者正在北京大学求学。

1、请简要概括文章写了“雨前”哪些、具有何种特点的景物？并说说这样写有什么作用？

答：______________________________________________________

2、结合上下文，解释文中画线句子和加粗词语的含意。

（1）我心里的气候也和这北方大陆一样缺少雨量。

答：______________________________________________________

（2）一点雨声的幽凉滴到我憔悴的梦。

答：______________________________________________________

3、文章题目为“雨前”，作者为什么还要用两段来写“怀想”故乡？

答：______________________________________________________

4、以“然而雨还是没有来”作结，表达了作者怎样的思想感情？有何作用？

　______________________________________________________
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单项选择题 A1/A2型题

某工地的工人因外伤致股骨干闭合性骨折，在从工地运往医院途中应该注意以下哪项（）

A.用木板床运送

B.置左下肢外展屈曲位

C.置左下肢内收内旋位

D.将左下肢和右下肢捆扎在一起

E.人力牵引置下肢中立位
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