（1）由

x-y+b=0 y2=4x

消去y得：x2+(2b-4)x+b2=0

因直线y=x+b与抛物线y²=4x相切，

∴△=（2b-4）²-4b²=0∴b=1，

∵圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角

形，∴a=

2

b=

2

故所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1.

（2）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2

当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x²+y²=1

由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

即两圆相切于点（0，1）

因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）

事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下．

当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）

若直线L不垂直于x轴，可设直线L：y=kx-

1

3

由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

消去y得：(18k2+9)x2-12kx-16=0

记点A（x₁，y₁）、B(x2，y2)，则

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

又因为

TA

=(x1，y1-1)，

TB

=(x2，y2-1)

所以

TA

•

TB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)

=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-16

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）

所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．