问题
解答题
已知椭圆：
（1）求椭圆的方程． （2）Q是椭圆上位于x轴下方的一点，F1F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为
（3）以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，判断这样的三角形存在吗？若存在，有几个？若不存在，请说明理由． |
答案
（1）依题意，b=1，因为离心率等于
，3 2
所以
=c2 a2
=1-a2-b2 a2
=1 a2
，解得a2=4，3 4
所以椭圆方程为：
+y2=1；x2 4
（2）F1（-
，0），直线QF1：y=3
(x+3 3
)，代入3
+y2=1中，x2 4
得xQ=-
，yQ=-8 3 7
，又|F1F2|=21 7
，3
所以S△QF1F2=
|F1F2||yQ|=1 2
；3 7
（3）假设这样的三角形存在，设AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为y=-
x+1，1 k
由
，得（4k2+1）x2+8kx=0，解得xA=-y=kx+1 x2+4y2=4
①，8k 1+4k2
由
，得（k2+4）x2-8kx=0，解得xC=-y=-
x+11 k x2+4y2=4
②，8k 4+k2
因为|AB|=|BC|，得：xA2+(yA-1)2=xC2+(yC-1)2，
将yA=kxA+1，yC=-
xC+1代入得：1 k
xA2(1+k2)=xC2(1+
)，k2xA2=xC2，1 k2
将①②代入得：k2（4+k2）2=（4k2+1）2，即[k（4+k2）+1+4k2][k（4+k2）-（1+4k2）]=0，
因为k＞0，k（4+k2）+1+4k2＞0，得（k-1）（k2-3k+1）=0，
解得k=1，k=
，k=3+ 5 2
，3- 5 2
所以存在这样的等腰直角三角形．