已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为63且过点（0，1）．（I

问题解答题

已知椭圆

=1(a＞b＞0)的离心率为

且过点（0，1）．
（I）求此椭圆的方程；
（II）已知定点E（-1，0），直线y=kx+2与此椭圆交于C、D两点．是否存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

答案

（I）根据题意，

a2=b2+c2

b=1

，解得

a2=3

b2=1

c2=2

．

∴椭圆方程为

+y2=1．

（II）将y=kx+2代入椭圆方程，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，

由直线与椭圆有两个交点，∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0，解得k²＞1．（*）

设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x1+x2=

-12k

1+3k2

，x1x2=

1+3k2

，（**）

若以CD为直径的圆过E点，则

•

=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，

而y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，代入上式得

(x1+1)(x2+1)+k2x1x2+2k(x1+x2)+4=0，

化为（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0．

把（**）代入上式得

9k2

1+3k2

12k(2k+1)

1+3k2

+5=0

解得k=

，满足k²＞1．

所以存在k=

使得以线段CD为直径的圆过E点．