问题
解答题
设点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:
(1)求椭圆C的方程; (2)设定点D(m,0),已知过点F2且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,满足|AD|=|BD|,求m的取值范围. |
答案
(1)设P(x,y),则
=(x+c,y),F1P
=(x-c,y),F2P
∴
•PF1
=x2+y2-c2=PF2
x2+1-c2,x∈[-a,a],a2-1 a2
由题意得,1-c2=0⇒c=1⇒a2=2,
∴椭圆C的方程为
+y2=1. x2 2
(2)由(1)得F(1,0),设l的方程为y=k(x-1),
代入
+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,x2 2
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
,x1x2=4k2 2k2+1
,∴y1+y2=k(x1+x2-2)=2k2-2 2k2+1
,-2k 2k2+1
设AB的中点为M,则M(
,-2k2 2k2+1
),k 2k2+1
∵|AD|=|BD|,∴DM⊥AB,即kDM•kAB=-1,∴
-2m+4k2 2k2+1
k=0⇔(1-2m)k2=m-2k 2k2+1
∵直线l与坐标轴不垂直,∴k2=
.m 1-2m
∴
>0⇔0<m<m 1-2m
.1 2