问题 解答题
设点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:
x2
a2
+y2=1(a>1)
的左、右焦点,P为椭圆C上任意一点,且
PF1
PF2
最小值为0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设定点D(m,0),已知过点F2且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,满足|AD|=|BD|,求m的取值范围.
答案

(1)设P(x,y),则

F1P
=(x+c,y),
F2P
=(x-c,y)

PF1
PF2
=x2+y2-c2=
a2-1
a2
x2+1-c2,x∈[-a,a],

由题意得,1-c2=0⇒c=1⇒a2=2,

∴椭圆C的方程为

x2
2
+y2=1.                                 

(2)由(1)得F(1,0),设l的方程为y=k(x-1),

代入

x2
2
+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=

4k2
2k2+1
x1x2=
2k2-2
2k2+1
,∴y1+y2=k(x1+x2-2)=
-2k
2k2+1

设AB的中点为M,则M(

2k2
2k2+1
,-
k
2k2+1
),

∵|AD|=|BD|,∴DM⊥AB,即kDM•kAB=-1,∴

4k2
2k2+1
-2m+
-2k
2k2+1
k=0⇔(1-2m)k2=m

∵直线l与坐标轴不垂直,∴k2=

m
1-2m

m
1-2m
>0⇔0<m<
1
2

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