问题 解答题
已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4(
2
-1),求椭圆方程.
答案

∵椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,

∴设椭圆的方程为

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),

设短轴的两个端点分别为A、B,左右焦点分别为F1、F2,连结AF2、BF2

∵一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,

∴AF2⊥BF2

根据椭圆的对称性得到△ABF2是等腰直角三角形,可得|OA|=|0F2|.

∴b=c,即

a2-c2
=c…①,

又∵焦点和x轴上的较近端点的距离为4(

2
-1),

∴a-c=4(

2
-1)…②,

联解①②可得a=4

2
,c=4,可得a2=32,b2=c2=16

所求椭圆的方程为

x2
32
+
y2
16
=1.

单项选择题 A1/A2型题
单项选择题