（1）因为椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A(0，

2

)，所以b=

2

，b²=2，

又因为椭圆C₁的离心率e=

3

3

，所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

3

，解得a²=3．

所以椭圆C₁的方程是

x2

3

+

y2

2

=1；

（2）因为线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，

所以|MP|=|MF₂|，即动点M到定直线l₁：x=-1的距离等于它到定点F₂（1，0）的距离，

所以动点M的轨迹C₂是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线，

所以点M的轨迹C₂的方程为y²=4x；

（3）设R（x₁，y₁），假设存在直线m：x=t满足题意，则圆心O1(

x1+4

2

，

y1

2

)，

过O₁作直线x=t的垂线，垂足为E，设直线m与圆O₁的一个交点为G．

可得：|EG|2=|O1G|2-|O1E|2=|O1Q|2-|O1E|2，

即|EG|2=|O1Q|2-|O1E|2=

(x1-4)2+ y 21

4

-(

x1+4

2

-t)2

=

1

4

y

21

+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+t(x1+4)-t2

=x1-4x1+t(x1+4)-t2=(t-3)x1+4t-t2，

当t=3时，|EG|²=3，此时直线m被以RQ为直径的圆O₁所截得的弦长恒为定值2

3

．

因此存在直线m：x=3满足题意．