问题
解答题
椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，
（1）求椭圆T的方程； （2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：
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答案
（1）设椭圆T的方程为
+x2 a2
=1（a＞b＞0），y2 b2
由题意知：左焦点为F′（-2，0），所以2a=|EF|+|EF′|=
+32
，2
解得a=2
，2
∵c=2，∴b=
=2．a2-c2
故椭圆T的方程为
+x2 8
=1…（4分）y2 4
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），
由：x12+2y12=8，x22+2y22=8，两式相减，得到
（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0
所以k1=
=-y1-y2 x1-x2
•1 2
=-x1+x2 y1+y2
，即s1 2t1
=-1 k1
，…（9分）2t1 s1
同理
=-1 k2
，2t2 s2
=-1 k3 2t3 s3
所以
+1 k1
+1 k2
=-2(1 k3
+t1 s1
+t2 s2
)，t3 s3
又因为直线OM，ON，OP的斜率之和为0，
所以
+1 k1
+1 k2
=0 …（13分）1 k3