已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点

问题解答题

已知椭圆E：

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，点M是椭圆上的任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=4，椭圆的离心率e=

．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆E的左焦点F₁作直线l交椭圆于P、Q两点，点A为椭圆右顶点，能否存在这样的直线，使

•

=3，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．

答案

（I）由题意可得

|MF1|+|MF2|=4=2a

a2=b2+c2

，解得

a=2，c=1

b2=3

．

故椭圆的方程为

=1．

（II）若直线l⊥x轴，则P(-1，

)，Q(-1，-

)，

又A（2，0），∴

=(-3，

)，

=(-3，-

)，

∴

•

=9-

≠3，此时不满足条件，直线l不存在．

当直线l的斜率存在时，设直线ld的方程为：y=k（x+1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．

联立

y=k(x+1)

，消去y得到（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，

∴x1+x2=

-8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．

∵

=(x1-2，y1)，

=(x2-2，y2)．

∴

•

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=（x₁-2）（x₂-2）+k（x₁+1）•k（x₂+1）=3．

∴(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+1=0，

∴

(1+k2)(4k2-12)

3+4k2

8k2(k2-2)

3+4k2

+k2+1=0，

解得k=±

．

∴满足条件的直线l存在，其方程为y=±

(x+1)．