已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点坐标为(±2，0)，离心率为6

问题解答题

已知椭圆

=1（a＞b＞0）的焦点坐标为(±

， 0)，离心率为

．直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以PQ为直径的圆过点D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）由e=

，c=

，a²=b²+c²得，a=

，b=1，

所以椭圆方程是：

+y2=1；

（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，

将y=kx+2代入

+y2=1，整理得（3k²+1）x²+12kx+9=0（*），

则x1+x2=-

12k

3k2+1

，x1x2=

3k2+1

，

以PQ为直径的圆过D（-1，0），

则

⊥

，即

•

=0，

所以

•

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂

=x₁x₂+（x₁+x₂）+y₁y₂+1=（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=

-12k+14

3k2+1

=0．

解得k=

，此时（*）方程△＞0，

所以存在k=

，使得以PQ为直径的圆过点D（-1，0）．