（1）由

c

a

=

2

2

，

又过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

2

，

得

2b2

a

=

2

，且a²-b²=c²，解得a²=2，b²=1．

所以椭圆方程为

x2

2

+y2=1；

（2）根据题意可知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

由方程组

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，消去y得关于x的方程（1+2k²）x²+8kx+6=0

由直线l与椭圆相交于A，B两点，则有△＞0，

即64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0，得k2＞

3

2

由根与系数的关系得

x1+x2=- 8k 1+2k2 x1•x2= 6 1+2k2

故|AB|=

1+k2

|x1-x2|

=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

16k2-24

1+2k2

1+k2

又因为原点O到直线l的距离d=

2

1+k2

，故△OAB的面积S=

1

2

|AB|•d=

16k2-24

1+2k2

=

2 2 × 2k2-3

1+2k2

令t=

2k2-3

＞0，则2k²=t²+3

所以S△AOB=

2 2 t

t2+4

≤

2

2

，当且仅当t=2时等号成立，

即k=±

14

2

时，|AB|=

3

2

．