（1）n=1，m=2，f（x）=x+

x3

3

，g（x）=

x2

2

，h₁（x）=c+x-

x2

2

+

x3

3

，

h'（x）=1-x+x²＞0，所以h₁（x）在R上单调增；         （2分）

n=2，m=2，f（x）=x+

x3

3

，g（x）=

x2

2

+

x4

4

，h₂（x）=c-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

，

h₂'（x）=-1+x-x²+x³=（x-1）（1+x²），

当x＜1时，h₂'（x）＜0，h₂'（x）单调递减；当x＞1时，h₂'（x）＞0，h₂'（x）单调递增；

故x=1时，h₂'（x）最小值为c-

7

12

．                    （5分）

（2）文科：m=n，c=0，

T（n）=h₂（1）=-1+

1

2

-

1

3

+…-

1

2n-1

+

1

2n

．

T（n+1）=h₂（1）=-1+

1

2

-

1

3

+…-

1

2n-1

+

1

2n

-

1

2n+1

+

1

2n+2

．

知T（n+1）＜T（n），故n=1时，T（n）最大为-

1

2

．

理科：m=n，c=0，T（n）=h₁（1）=1-

1

2

+

1

3

+…

1

2n-1

-

1

2n

．

①当n=1时，左边T（1）=1-

1

2

=

1

2

，右边=

1

2

；成立

②假设n=k时成立，则有

T（k）=1-

1

2

+

1

3

+…

1

2k-1

-

1

2k

．

T（k+1）=1-

1

2

+

1

3

+…

1

2k-1

-

1

2k

+

1

2k+1

-

1

2k+2

=T（k）+

1

2k+1

-

1

2k+2

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

+

1

2k+1

-

1

2

•

1

k+1

=

1

k+2

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

．

故当n=k+1时也成立．

综上所述，等式成立．                                           （11分）

（3）m=n+1，c=1，h₁（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-…-

x2n

2n

+

x2n+1

2n+1

，（13分）

h

′1

（x）=1-x+x²-…-x^2n-1+x²ⁿ，

=

1+x2n+1 1+x ，x≠-1 2n+1，x=-1

，

当x≥0时，h

′1

（x）＞0；当-1＜x＜0时，h

′1

（x）＞0；当x＜-1时，h

′1

（x）＞0，故函数h

′1

（x）为R上的增函数，于是函数f（x）在R上最多只有一个零点．因h₁（0）=1＞0，h₁（-1）=（1-1）+（-

1

2

+

1

3

）+…+（-

1

2n

+

1

2n+1

）＜0，故h₁（0）h₁（-1）＜0，

因而h₁（x）在R上唯一零点在区间（-1，0）上，（15分）

于是h₁（x+2）的唯一零点在区间（-3，-2）上．

同理可得，函数h₂（x）为R上的减函数，于是函数h₂（x）在R上最多只有一个零点．

又h₂（1）=（1-1）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2n

-

1

2n+1

）＞0，

h₂（2）=（1-2）+2²（

1

2

-

2

3

）+2⁴（

1

4

-

2

5

）+…+2²ⁿ（

1

2n

-

2

2n+1

）＜0，于是h₂（1）h₂（2）＜0，因而h₂（x）在R上唯一零点在区间（1，2）上，于是h₂（x-2）的唯一零点在区间（3，4）上．

所以，F（x）的两零点落在区间[-3，4]上，b-a的最小值为7．       （18分）