问题 解答题
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A,B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形.
答案

(Ⅰ)因为焦点与短轴的端点都在圆x2+y2=1上,

∴c=1,b=1,

∴a2=b2+c2=1+1=2.

则椭圆方程为:

x2
2
+y2=1;

(Ⅱ)由已知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-2).

联立

y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
,得(1+k2)x2-8k2x+8k2-2=0.

由△=64k4-4(1+k2)(8k2-2)>0,得k2

1
2

所以k∈(-

2
2
2
2
).

设A(x1,y1),B(x2,y2).

x1+x2=

8k2
1+k2
x1x2=
8k2-2
1+k2

若O为直角顶点,则

OA
OB
=0,即x1x2+y1y2=0.

y1y2=k(x1-2)k(x2-2).

所以上式可整理得:

8k2-2
1+2k2
+
4k2
1+2k2
=0.

解得k=±

5
5
.满足k∈(-
2
2
2
2
)

若A或B为直角顶点,不妨设A为直角顶点,

kOA=-

1
k
,则A满足
y=-
1
k
x
y=k(x-2)
,解得
x=
2k2
k2+1
y=-
2k
k2+1

代入椭圆方程得k4+2k2-1=0.

解得k=±

2
-1
.满足k∈(-
2
2
2
2
)

综上,k=±

5
5
或k=±
2
-1
时三角形OAB为直角三角形.

阅读理解与欣赏

       ( )村子里就剩下你一个了吗( )军官继续盘问他( )     

       ( )怎么会就剩下我一个( )这里有麻雀( )乌鸦( )猫头鹰( )多着呢( )夜莺倒是只有我一个( )     

     “你这个坏家伙!”军官打断孩子的话,“我是问你这里有没有人。”     

     “人呢?战争一开始这里就没有人了。”小孩不慌不忙地回答,“刚刚一开火, 村子就着火了,大家都喊:‘野兽来了,野兽来了’——就都跑了。” 

1.把第1、2自然段加上标点。    

2.面对敌人的盘问,小孩很镇静,他一方面巧妙地戏弄了敌人,把敌人说成             、            、             、             ,另一方面又让敌人相信了自己。这些话语体现了小夜莺                                                                                                     

3.理解文中画线的句子。  

                                                                                                                                          

4.说一说你从小夜莺身上学到了什么?

                                                                                                                                            

判断题