问题 解答题
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A,B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形.
答案

(Ⅰ)因为焦点与短轴的端点都在圆x2+y2=1上,

∴c=1,b=1,

∴a2=b2+c2=1+1=2.

则椭圆方程为:

x2
2
+y2=1;

(Ⅱ)由已知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-2).

联立

y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
,得(1+k2)x2-8k2x+8k2-2=0.

由△=64k4-4(1+k2)(8k2-2)>0,得k2

1
2

所以k∈(-

2
2
2
2
).

设A(x1,y1),B(x2,y2).

x1+x2=

8k2
1+k2
x1x2=
8k2-2
1+k2

若O为直角顶点,则

OA
OB
=0,即x1x2+y1y2=0.

y1y2=k(x1-2)k(x2-2).

所以上式可整理得:

8k2-2
1+2k2
+
4k2
1+2k2
=0.

解得k=±

5
5
.满足k∈(-
2
2
2
2
)

若A或B为直角顶点,不妨设A为直角顶点,

kOA=-

1
k
,则A满足
y=-
1
k
x
y=k(x-2)
,解得
x=
2k2
k2+1
y=-
2k
k2+1

代入椭圆方程得k4+2k2-1=0.

解得k=±

2
-1
.满足k∈(-
2
2
2
2
)

综上,k=±

5
5
或k=±
2
-1
时三角形OAB为直角三角形.

综合题

阅读材料,回答问题:(37分)

材料一:清政府推行的“新政”中,奖励设厂和废科举兴学堂这些措施,在客观上起过一些积极作用。特别是废科举兴学堂这件事,虽已是大势所趋不得不如此,但它对推进中国近代社会变革所起的作用毕竟不能小看。在各省设立的咨议局也使当地士绅多一点发发议论的权利,受到一点初步的民主训练。

一九○八年的八月二十七日,也就是离慈禧太后和光绪帝死前两个多月,清政府公布了一个《钦定宪法大纲》,作为制定“宪法”的准备。……它的第一条是:“大清皇帝统治大清帝国,万世一系,永永尊戴。”第二条是:“君上神圣尊严,不可侵犯。”它规定:一切颁行法律、召集开闭解散议院、设官制禄、统率陆海军、宣战媾和、订立条约、宣布戒严、司法等等大权,全握在君主一人手中。

——金冲及《二十世纪中国史纲》

材料二:湖北武汉之所以成为辛亥革命的首义之区,与清末湖北新政的成败得失密切相关。由于湖广总督张之洞在湖北长期的苦心经营,使湖北成为清末新政的先进地区。正是湖北新政的发展,为革命造就了许多客观条件。新政时期的实业建设为革命运动的发展提供了一定的经济基础,特别是军事工业的建设,如汉阳兵工厂直接为武昌起义提供了武器装备;新政时期近代工商业经济的发展形成了绅商等新式社会群体,为革命提供了一定的阶级力量,尤其是新式学堂的创办、留学生的派遣与新军的编练,更是直接为革命提供了人才,新式学生与新军士兵是革命的最主要的生力军。武昌起义前夕的湖北社会业已成为革命的火药库,而清政府铁路国有政策激起的保路风潮更是火上浇油,革命的爆发已是不可避免了。

——张海鹏、李细珠《中国近代通史》

材料三:辛亥革命是中国资本主义初步发展阶段的产物。它的规模和取得的成果,反映了民族资产阶级的形成及其具有全国性运动的能量。代表民族资产阶级中下层利益的革命派,领导了这次革命,建立了推翻清王朝、结束封建君主专制统治、肇造共和民国的丰功伟绩。代表民族资产阶级上层利益的立宪派,图谋抵制革命,希望清王朝实行君主立宪。但他们倡导收回利权,发动国会请愿,从事教育、出版、学术等工作,实际上有利于宣传民主主义,暴露封建专制主义,起到孤立清王朝的作用。武昌起义后,立宪派人多数先后不同地附从革命,加快了全国反清起义的进程。

——林增平《林增平文存》

(1)、根据材料一,指出清末新政的措施、宪政的内容,结合所学知识分析其原因。(15分)

(2)、根据材料二,归纳武汉成为辛亥革命首义的原因。(5分)

(3)、根据材料三,指出辛亥革命的意义。根据以上材料结合所学知识,分析立宪派队附从革命的原因。(11分)

(4)、综合材料,结合所学知识,指出中国二十世纪对政治体制的探索和实践。(6分)

名词解释