问题
解答题
已知F1、F2是椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）已知⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，与椭圆C交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且满足
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答案
（Ⅰ）由题设知
，a+c=
+12 a-c=
-12
解得a=
，c=1，2
∴b2=1．
∴椭圆的标准方程为
+y2=1．x2 2
（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，
∵
=1，|m| k2+1
∴m2=k2+1．
由
，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
+y2 =1x2 2 y=kx+m
∵直线l与椭圆交于两个不同的点，
∴△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-2）＞0，
∴k2＞0．
x1+x2=-
，x1•x2=4km 1+2k2
=2m2-2 1+2k 2
，2k2 1+2k2
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2 +km(x1+x2)+m2=
，1-k2 1+2k2
x1x2+y1y2=
，1+k2 1+2k2
∵
≤x2•x2+y1•y2≤2 3
，3 4
∴
≤2 3
≤1+k2 1+2k2
，3 4
∴
≤k2≤1，1 2
∴S△AOB=
•|AB|•11 2
=1 2
•1+k2 (-
)2-4×4km 1+2k2 k2 1+2k2
=
，2(k4+k2) 4(k4+k2)+1
设μ=k4+k2，则
≤μ≤2，3 4
S=
，μ∈[2μ 4μ+1
，2]，3 4
∵S关于μ∈[
，2]上单调递增，3 4
∴△AOB面积S的最大值为S(2)=
=2×2 4×2+1
．2 3