已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，短轴的长为2．（

问题解答题

已知椭圆M：

=1 (a＞b＞0)的离心率为

，短轴的长为2．
（1）求椭圆M的标准方程
（2）若经过点（0，2）的直线l与椭圆M交于P，Q两点，满足

•

=0，求l的方程．

答案

（1）由e=

，b=1，a2=b2+c2得a=2（2分）

所以椭圆方程为

+y2=1（4分）

（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）设直线l：y=kx+2（5分）

由

+y2=1

y=kx+2

得（1+4k²）x²+16kx+12=0△=64k²-48＞0①（7分）

x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

1+4k2

②∵

•

∴x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0③（10分）

由②③解得k=±2满足①所以l：2x-y+2=0或2x+y-2=0（12分）