问题
解答题
已知椭圆
（1）求该椭圆的标准方程； （2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l1，l2分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）∵椭圆
+x2 a2
=1（a＞b＞0）的离心率为y2 b2
，经过点（2 2
，1），6
∴e=
=c a
⇔2 2
=c2 a2
=a2-b2 a2
①，1 2
+(
)26 a2
=1②，12 b2
由①②解得a2=8，b2=4，
∴该椭圆的标准方程为：
+x2 8
=1；y2 4
（2）∵椭圆
+x2 8
=1的左焦点F1（-2，0）；y2 4
设过其左焦点F1的直线AB的方程为：y=k1（x+2），k1≠0
由方程组
得（2k12+1）x2+8k12x+8k12-8=0，y=k1(x+2)
+x2 8
=1y2 4
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1•x2=-8k12 2k12+1 8k12-8 2k12+1
由弦长公式得|AB|=
•1+k12
=(x1+x2)2-4x1x2
，4
(k12+1)2 2k12+1
同理设C（x3，y3），D（x4，y4），|CD|=
•1+k22
=(x3+x4)2-4x3x4
，，4
(k22+1)2 2k22+1
由（1）k1•k2=-1得k2=-
，代入得|CD|=1 k1
，4
(k12+1)2 k12+2
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=
=|AB|+|CD| |AB|•|CD|
+1 |AB|
=1 |CD|
=3 4 2
，则存在λ=3 2 8
，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．3 2 8