（1）由题意设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，

因为M是椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点，△MF₁F₂的面积为4，△ABF₂的周长为8

2

所以，4a=8

2

，

1

2

×b×2c=4

∴

bc=4 b2+c2=8

，

∴b=c=2，a=2

2

，

∴所求的椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．

（2）假设存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切．

设圆Q的半径为r，点P（x₀，y₀），

因为圆Q与直线PF₁，PF₂都相切，所以PQ为∠F₁PF₂的角平分线，

∴

|PF1|

|PF2|

=

|QF1|

|QF2|

，∴

|PF1|

4 2

=

|QF1|

4

∴|PF1|=

2

|QF1|

∵|QF₁|=3，∴|PF1|=3

2

∴

(x0+2)2+y02=18 x02 8 + y02 4 =1

解得x0=2，y0=±

2

当P（2，

2

）时，直线PF₁的方程为：x-2

2

y+2=0，Q到直线PF₁的距离=

|1+2|

3

=1；直线PF₂的方程为x-2=0，该圆与直线PF₂相切；当P（2，-

2

）时，直线PF₁的方程为：x+2

2

y+2=0，Q到直线PF₁的距离=

|1+2|

3

=1；直线PF₂的方程为x-2=0，该圆与直线PF₂相切；

所以存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切，点P（2，±

2

），圆的方程为：（x-1）²+y²=1．