设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．

问题解答题

设F₁、F₂分别为椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程．

答案

（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2．…（2分）

又点A（1，

）在椭圆上，因此

(

=1得b²=3，于是c²=1．…（4分）

所以椭圆C的方程为

=1，…（5分）

焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）．…（7分）

（2）设椭圆C上的动点为K（x₁，y₁），线段F₁K的中点Q（x，y）满足：x=

-1+x1

，y=

，即x₁=2x+1，y₁=2y．…（11分）

因此

(2x+1)2

(2y)2

=1．即(x+

)2+

4y2

=1为所求的轨迹方程．…（15分）