已知椭圆E的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点（1，32

问题解答题

已知椭圆E的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点（1，

）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程
（2）若椭圆E上存在一点 P，使∠F₁PF₂=30°，求△PF₁F₂的面积．

答案

（1）设椭圆E的方程为

=1（a＞b＞0）．

∵c=1，

∴a²-b²=1①，

∵点（1，

）在椭圆E上，

∴

4b2

=1②，

由①、②得：a²=4，b²=3，

∴椭圆E的方程为：

=1．

（2）由题意知，a=2，b=

、∴c=1

又∵点P在椭圆上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4、①

由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=4②

把①两边平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=16，③

③-②得（2+

）|PF₁|•|PF₂|=12，

∴|PF₁|•|PF₂|=12（2-

），

∴S△PF1F2=

|PF₁|•|PF₂|sin30°=6-3

、