（Ⅰ）易知f（x）的定义域为x∈（-

1

2

，+∞）．

f′（x）=x-

m

1+2x

+m=

2 x2+(2m+1) x

1+2x

=

2x(x+m+ 1 2 )

1+2x

．

由f′（x）=0得：x=0或x=-m-

1

2

．

∵m＜0，∴-m-

1

2

∈（-

1

2

，+∞）．

∴（1）当-

1

2

≤m＜0时，则x∈（-

1

2

，-m-

1

2

）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；

x∈（-m-

1

2

，0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．

（2）当m＜-

1

2

时，则x∈（-

1

2

，0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；

x∈（0，-m-

1

2

）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

x∈（-m-

1

2

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．

（Ⅱ）在x∈（-

1

2

，

g-1

2

]上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞g+1成立，

等价于当x∈（-

1

2

，

g-1

2

]时，f（x）_max＞g+1．

∵m≤-

g

2

，∴

g-1

2

≤-m-

1

2

．

由（Ⅰ）知，x∈（-

1

2

，0]时，f（x）为增函数，x∈[0，

g-1

2

）时，f（x）为减函数．

∴在x∈（-

1

2

，

g-1

2

]时，f（x）_max=f（0）=-2m．∴-2m＞g+1，即m＜

-1-g

2

．

检验，上式满足m≤-

g

2

，所以m＜

-1-g

2

是所求范围．

（Ⅲ）当m=-1时，函数f（x）=

1

2

x²+ln

1+2x

-x+2．

构造辅助函数g（x）=f（x）-

1

3

x，并求导得g′（x）=x+

1

1+2x

-

4

3

=

6x2-5x-1

3(1+2x)

=

(6x+1)(x-1)

3(1+2x)

显然当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．

∴对任意0＜x₁＜x₂＜1，都有g（x₁）＞g（x₂）成立，即f（x₁）-

1

3

x₁＞f（x₂）-

1

3

x₂．

即f（x₂）-f（x₁）＜

1

3

（x₂-x₁）

即．又∵x₂-x₁＞0，∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜

1

3

．