（1）当m＞n时，由椭圆定义得 2m=4，∴m=2（2分）

又点A（1，

3

2

）在椭圆上  所以

1

m2

+

9 4

n2

=1， ∴ n2=3

∴

x2

4

+

y2

3

=1 （3分）

同理，当m＜n时，椭圆方程

x2

3

+

y2

4

=1 （4分）

（2）当m＞n时，由椭圆定义得 PF₁+PF₂=2m，PF₁²+PF₂²=4

解得  PF₁PF₂=6             （8分）

所以△PF₁F₂的面积为3

同理，当m＜n时，△PF₁F₂的面积也为3   （10分）

（3）设M，N是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为K_QM，K_QN，那么K_QM，K_QN之积是与点Q位置无关的定值．

设点M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．Q（x₀，y₀）

则

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x02

a2

-

y02

b2

=1

作差得

(y1-y0)(y1+y0)

(x1-x0)(x1+x0)

=

b2

a2

（12分）

所以KQMKQN=

b2

a2

（14分）

设M，N是二次曲线mx²+ny²=1上关于原点对称的两点，点Q是二次曲线上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为K_QM，K_QN，

那么KQMKQN=-

m

n

     （15分）

证明  设点点M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．Q（x₀，y₀）

则mx₁²+ny₁²=1，mx₀²+ny₀²=1

作差得

(y1-y0)(y1+y0)

(x1-x0)(x1+x0)

=-

m

n

∴KQMKQN=-

m

n

  （18分）