问题
解答题
若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而F(x)=
（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x2+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由． （2）证明函数h（x）=x2+a2x+4（a是常数且a∈R）在（0，1]上是“弱增函数”． |
答案
（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=
=1+f(x) x
在（1，2）上是减函数，4 x
所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”，g（x）=x2+4x在（1，2）上是增函数，但
=x+4在（1，2）上不是减函数，g(x) x
所以g（x）=x2+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．
（2）因为h（x）=x2+a2•x+4的对称轴为x=-
≤0，开口向上，所以h（x）在（0，1]上是增函数．a2 2
下面证明函数F（x）=
=x+h(x) x
+a2在（0，1]上是减函数．4 x
设0＜x1＜x2≤1，
则F(x1)-F(x2)=(x1+
+a2)-(x2+4 x1
+a2)=4 x2
，(x1-x2)(x1x2-4) x1x2
∵0＜x1＜x2≤1，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，
∴F(x1)-F(x2)=
＞0，即F（x1）＞F（x2）．(x1-x2)(x1x2-b) x1x2
所以F（x）在（0，1]上单调递减，
所以h（x）在（0，1]上是“弱增函数”；