问题
解答题
设椭圆上存在一点P,它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直,求椭圆离心率的取值范围.
答案
<e<1.
设椭圆方程为
+
=1(a>b>0),A为右顶点(a,0)、P(x0,y0),
∵PO⊥PA,
∴
·
=-1,即y02=ax0-x02.
又
+
=1,
∴(a2-b2)x02-a3x0+a2b2=0,(x0-a)［(a2-b2)x0-ab2］=0.
又0<x0<a,∴x0=
,且0<<a.而b2=a2-c2,
∴0<
<1.
∴0<
-1<1.
∴<e<1.