（1）设P（x，y），动圆半径为r，则|PQ|=r．

因为点Q在圆C的内部，所以动圆P与定圆C内切，

所以|PC|=4-r．

所以|PC|+|PQ|=4＞|CQ|=2

2

，

根据椭圆的定义，动圆圆心P的轨迹是以C、Q为焦点的椭圆．

因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，

故可设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．

由2a=4，2c=2

2

，得a=2，c=

2

，b=

2

，

所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．

所以动圆圆心P的轨迹方程为

x2

4

+

y2

2

=1．

（2）假设存在常数k，使得

CA

+

CB

=2

CM

，

即

AM

=

MB

，所以M为AB的中点．

圆方程可化为（x-1）²+（y-1）²=2，

所以圆心M为（1，1）．

因为直线l经过点M，

所以直线l的方程为y-1=k（x-1）．

由

y-1=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，

消去y得（1+2k²）x²+（4k-4k²）x+（2k²-4k-2）=0．

因为点M（1，1）在椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的内部，

所以恒有△＞0．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则x1+x2=

4k2-4k

1+2k2

．

因为M为AB的中点，

所以

x1+x2

2

=1，

即

2k2-2k

1+2k2

=1，

解得k=-

1

2

．

所以存在常数k=-

1

2

，

使得

CA

+

CB

=2

CM

．