问题
解答题
已知椭圆的焦点是F1（0，-1）和F2（0，1），离心率e=
（I）求此椭圆的标准方程； （Ⅱ）设点P在此椭圆上，且有|PF1|-|PF2|=1，求∠F1PF2的余弦值． |
答案
（I）由已知可设椭圆的方程为：
+x2 b 2
=1（a＞b＞0），…（2分）y2 a 2
由条件知c=1，e=
=c a
，1 2
解得a=2，…（4分）
所以b2=a2-c2=3．…（5分）
所以椭圆的标准方程方程为
+y2 4
=1…（6分）x2 3
（Ⅱ）因为点P在椭圆
+y2 4
=1上，x2 3
所以|PF1|+|PF2|=2a=4；…（8分）
又因为|PF1|-|PF2|=1，解得|PF1|=
，|PF2|=5 2
，…（10分）3 2
在△ABC中，cos∠F1PF2=
=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 2|PF1||PF2|
=(
)2+(5 2
)2-223 2 2×
×5 2 3 2
，3 5
所以∠F1PF2的余弦值为
． …（12分）3 5