问题
解答题
| 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（2+x）=f（2-x）． （Ⅰ）证明：f（x+4）=f（x）； （Ⅱ）当x∈（4，6）时，f（x）=
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答案
（Ⅰ）因为函数f（x）是偶函数，
所以f（-x）=f（x），（1）（2分）
又f（2+x）=f（2-x）⇒f（2+2+x）=f（2-2-x）⇒f（4+x）=f（-x）（2）
由（1）、（2）得f（x+4）=f（x）（5分）
（Ⅱ）因为当x∈（4，6）时，f（x）=x2-x-2 x-3
当0＜x＜2时，4＜x+4＜6，
由（Ⅰ）知f（x）=f（x+4）
=(x+4)2-(x+4)-2 x+4-3
=
（7分）x2+7x+10 x+1
f′（x）=
（9分）x2+2x-3 (x+1)2
令f′（x）=0，得x=-3或x=l，因为0＜x＜2，所以x=1．
因为x∈（0，1）时，f′（x）＜O，x∈（1，2）时，f′（x）＞O，
所以函数以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．（12分）