（1）证明：f（x）的定义域为R，任取x₁＜x₂，

则f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-(a-

1

2x2+1

)=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

所以，无论a为何实数，f（x）总为增函数．

（2）因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）=0，即a-

1

20+1

=0

解得a=

1

2

．

（3）由（2）知，f(x)=

1

2

-

1

2x+1

(x∈R)，

由（1）知f（x）为区间[1，5]上的增函数，

所以f（x）在[1，5]上的最小值为f(1)=

1

6

，最大值为f（5）=

31

66

．