问题
解答题
椭圆E：
（I）求椭圆E的方程； （II）若直线l：y=kx+m与椭圆E交于M，N两点（其中5m+6k≠0），以线段MN为直径的圆过E的右顶点，求证：直线l过定点． |
答案
（I）设椭圆的左焦点为F′，由椭圆的对称性，
因为|AF|+|BF|=4，所以|AF|+|AF′|=4，所以2a=4，即a=2，
在三角形AFB中，由正弦定理得
=sin∠AFB sin∠ABF+sin∠BAF
=|AB| |AF|+|BF|
=
+x 21 y 21 2 b2+ c2 x 21 a2 2
因为0≤x12≤a2，所以
≥sin∠AFB sin∠ABF+sin∠BAF
=b 2 1 2
所以b=1
所以所求椭圆方程为
+y2=1；…5分x2 4
（Ⅱ） 由
得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0．y=kx+m
+y2=1x2 4
由题意得△＞0，即m2-1-4k2＜0．（※）
设交点M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=- 8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2
因为以MN为直径的圆过C（2，0），∴
•CM
=0CN
∵
=（x1-2，y1），CM
═（x2-2，y2），CN
所以（x1-2）（x2-2）+y1y2=0，
即（x1-2）（x2-2）+（k x1+m）（kx2+m ）=0，整理得
5m2+16km+12k2=0，（m+2k）（5m+6k）=0，注意到5m+6k≠0
故解得m=-2k．经检验，满足（※）式．
m=-2k时，直线方程为y=k（x-2），恒过定点（2，0）…12分