（1）（方法一）设P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．

∵2

OP

=

OA

+

OB

，∴P是线段AB的中点，∴

x= x1+x2 2 y= x1-x2 2 .

（2分）

∵|AB|=

4 5

5

，∴(x1-x2)2+(x1+x2)2=

16

5

，∴(2y)2+(2x)2=

16

5

．

∴化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=

4

5

．（5分）

（方法二）∵2

OP

=

OA

+

OB

，∴P为线段AB的中点、（2分）

∵M、N分别在直线y=x和y=-x上，∴∠AOB=90°．

又|AB|=

4 5

5

，∴|OP|=

2 5

5

，∴点P在以原点为圆心，

2 5

5

为半径的圆上、

∴点P的轨迹C的方程为x2+y2=

4

5

．（5分）

（2）证明：当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，

∵l与C相切，∴

|m|

1+k2

=

2 5

5

，∴m2=

4

5

(1+k2)．

联立

y=kx+m x2+4y2=4

，∴

(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0 (1+4k2)y2-2my+m2-4k2=0

．

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁•x₂=

4m2-4

1+4k2

，y1y2=

m2-4k2

1+4k2

．（8分）

∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

5m2-4k2-4

1+4k2

．

又m2=

4

5

(1+k2)，∴

OM

•

ON

=0．（10分）

当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=±

2 5

5

，代入椭圆方程得

M（

2 5

5

，

2 5

5

），N（

2 5

5

，-

2 5

5

）或M（-

2 5

5

，

2 5

5

），N（-

2 5

5

，-

2 5

5

），

此时，

OM

•

ON

=

4

5

-

4

5

=0．

综上所述，

OM

•

ON

为定值0．（12分）