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问题 解答题
在△ABC中，角A的对边长等于2，向量
m
=(2，  2cos2
B+C
2
-1)，向量
n
=(sin
A
2
，  -1)．
（1）求
m
•
n
取得最大值时的角A的大小；
（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值．
答案

（1）

m
•
n
=2sin
A
2
-(2cos2
B+C
2
-1)=2sin
A
2
-cos(B+C)．

因为A+B+C=π，所以B+C=π-A，

于是

m
•
n
=2sin
A
2
+cosA=-2sin2
A
2
+2sin
A
2
+1=-2(sin
A
2
-
1
2
)2+
3
2
．

因为

A
2
∈(0，  
π
2
)，所以当且仅当sin
A
2
=
1
2
，即A=
π
3
时，
m
•
n
取得最大值
3
2
．

故

m
•
n
取得最大值时的角A=
π
3
；

（2）设角、B、C所对的边长分别为a、b、c由余弦定理，得b2+c2-a2=2bccosA

即bc+4=b2+c2≥2bc，所以bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号．

又S△ABC=

1
2
bcsinA=
3
4
bc≤
3
．当且仅当a=b=c=2时，△ABC的面积最大为
3
．

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