问题
解答题
已知k＞0，直线l1：y=kx，l2：y=-kx．
（1）证明：到l1、l2的距离的平方和为定值a（a＞0）的点的轨迹是圆或椭圆；
（2）求到l1、l2的距离之和为定值c（c＞0）的点的轨迹．
答案
（1）证明：设点P（x，y）为动点，则
+|y-kx|2 1+k2
=a，|y+kx|2 1+k2
整理得
+x2 (1+k2)a 2k2
=1．y2 (1+k2)a 2
因此，当k=1时，动点的轨迹为圆；
当k≠1时，动点的轨迹为椭圆．
（2）设点P（x，y）为动点，则
|y-kx|+|y+kx|=c
．1+k2
当y≥k|x|时，y-kx+y+kx=c
，即y=1+k2
c1 2
；1+k2
当y≤-k|x|时，kx-y-y-kx=c
，即y=-1+k2
c1 2
；1+k2
当-k|x|＜y＜k|x|，x＞0时，kx-y+y+kx=c
，即x=1+k2
c1 2k
；1+k2
当-k|x|＜y＜k|x|，x＜0时，y-kx-y-kx=c
，即x=-1+k2
c1 2k
．1+k2
综上，动点的轨迹为矩形．