问题
解答题
已知函数f（x）是y=
（1）求函数F（x）的解析式及定义域； （2）试问在函数F（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A，B坐标；若不存在，说明理由． |
答案
（1）由y=
-1（x∈R），得10x=2 10x+1
，x=lg1-y 1+y
．1-y 1+y
∴f（x）=lg
（-1＜x＜1）．1-x 1+x
设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，
则P关于直线x=-2的对称点P′的坐标为（-4-x，y）．
由题设知点P′（-4-x，y）在函数y=-
的图象上，1 x+2
∴y=
，即g（x）=1 x+2
（x≠-2）．1 x+2
∴F（x）=f（x）+g（x）=lg
+1-x 1+x
，其定义域为{x|-1＜x＜1}．1 x+2
（2）设F（x）上不同的两点A（x1，y1），B（x2 y2），-1＜x1＜x2＜1
则y1-y2=F（x1）-F（x2）=lg
+1-x1 1+x1
-lg1 x1+2
-1-x2 1+x2 1 x2+2
=lg(
•1-x1 1+x1
)+(1+x2 1-x2
-1 x1+2
)1 x2+2
=lg(
•1+x2 1+x1
)+1-x1 1-x2
．x2-x1 (x1+2)(x2+2)
由-1＜x1＜x2＜1 得
＞1，1+x2 1+x1
＞1，x2-x1＞0，(x1+2)(x2+2)＞0，1-x1 1-x2
所以lg(
•1+x2 1+x1
)＞0，1-x1 1-x2
＞0，y1＞y2，x2-x1 (x1+2)(x2+2)
即F（x）是（-1，1）上的单调减函数，故不存在A，B两点，使AB与y轴垂直．