（1）由y=

2

10x+1

-1（x∈R），得10^x=

1-y

1+y

，x=lg

1-y

1+y

．

∴f（x）=lg

1-x

1+x

（-1＜x＜1）．

设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，

则P关于直线x=-2的对称点P′的坐标为（-4-x，y）．

由题设知点P′（-4-x，y）在函数y=-

1

x+2

的图象上，

∴y=

1

x+2

，即g（x）=

1

x+2

（x≠-2）．

∴F（x）=f（x）+g（x）=lg

1-x

1+x

+

1

x+2

，其定义域为{x|-1＜x＜1}．

（2）设F（x）上不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂ y₂），-1＜x₁＜x₂＜1

则y₁-y₂=F（x₁）-F（x₂）=lg

1-x1

1+x1

+

1

x1+2

-lg

1-x2

1+x2

-

1

x2+2

=lg(

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x2

)+(

1

x1+2

-

1

x2+2

)

=lg(

1+x2

1+x1

•

1-x1

1-x2

)+

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

．

由-1＜x1＜x2＜1    得

1+x2

1+x1

＞1，

1-x1

1-x2

＞1，x2-x1＞0，(x1+2)(x2+2)＞0，

所以lg(

1+x2

1+x1

•

1-x1

1-x2

)＞0，

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

＞0，y₁＞y₂，

即F（x）是（-1，1）上的单调减函数，故不存在A，B两点，使AB与y轴垂直．