问题
解答题
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．
（Ⅰ）用余弦定理证明：当∠C为钝角时，a2+b2＜c2；
（Ⅱ）当钝角△ABC的三边a，b，c是三个连续整数时，求△ABC外接圆的半径．
答案
（Ⅰ）当∠C为钝角时，cosC＜0，（2分）
由余弦定理得：c2=a2+b2-2ab•cosC＞a2+b2，（5分）
即：a2+b2＜c2．（6分）
（Ⅱ）设△ABC的三边分别为n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），
∵△ABC是钝角三角形，不妨设∠C为钝角，
由（Ⅰ）得（n-1）2+n2＜（n+1）2⇒n2-4n＜0⇒0＜n＜4，（9分）
∵n≥2，n∈Z，∴n=2，n=3，
当n=2时，不能构成三角形，舍去，
当n=3时，△ABC三边长分别为2，3，4，（11分）
cosC=
=-22+32-42 2×2×3
⇒sinC=1 4
，（13分）15 4
△ABC外接圆的半径R=
=c 2sinC
=4 2× 15 4
．（14分）8 15 15