问题
解答题
设n为正整数，规定：fn(x)=
（1）解不等式f（x）≤x； （2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3（x）=x； （3）求f2007(
（4）若集合B={x|f12（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含8个元素． |
答案
（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x，得x≥
，∴2 3
≤x≤1．2 3
②当1＜x≤2时，∵x-1≤x恒成立，∴1＜x≤2．
由①②得f（x）≤x的解集为{x|
≤x≤2}．2 3
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f3（0）=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0，
当x=1时，f3（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1，
当x=2时，f3（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
（3）f1(
)=2(1-8 9
)=8 9
，f2(2 9
)=f(f1(8 9
))=f(8 9
)=2 9
，14 9
f3(
)=f(f2(8 9
))=f(8 9
)=14 9
-1=14 9
，f4(5 9
)=f(f3(8 9
))=f(8 9
)=2(1-5 9
)=5 9
，8 9
一般地，f4k+r(
)=fr(8 9
)，（k，r∈N*），8 9
∴f2007(
)=f3(8 9
)=8 9
． 5 9
（4）由（1）知，f(
)=2 3
，∴fn(2 3
)=2 3
，则f12(2 3
)=2 3
，2 3
∈B．2 3
由（2）知，对x=0或x=1或x=2恒有f3（x）=x，∴f12（x）=f4×3（x）=x，则0，1，2∈B．
由（3）知，对x=
，8 9
，2 9
，14 9
，恒有f12（x）=f4×3（x）=x，5 9
∴
，8 9
，2 9
，14 9
∈B．5 9
综上所述：
，0，1，2，2 3
，8 9
，2 9
，14 9
∈B，5 9
∴B中至少包含8个元素．