问题
解答题
已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点A(2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线C2:x2=4y交于B,C两点,抛物线C2在点B,C处的切线分别为l1,l2,且l1与l2交于点P.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由.
答案
（1）
+
=1 （2）存在，有2个
解:(1)设椭圆方程为
+
=1(a>b>0),
由题意可知2a=
+
=8.
∴a=4,b2=a2-c2=12.
∴椭圆方程为+=1.
(2)设B（x1,
）,C（x2,
）,
直线BC的斜率为k,则k=
.
由y=
x2,得y′=
x.
∴点B、C处的切线l1、l2的斜率分别为x1,x2,
∴l1的方程为y-=x1(x-x1),
即y=x1x-
,
同理,l2的方程为y=x2x-
.
由
解得
∴P(2k,2k-3).
∵|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|,
∴点P在椭圆C1:+=1上,
∴
+
=1.
化简得7k2-12k-3=0.(*)
由Δ=122-4×7×(-3)=228>0,
可得方程(*)有两个不等的实数根.
∴满足条件的点P有两个.