已知△ABC三内角A、B、C所对边分别为a，b，c面积为S且满足2S=c2-（a

问题解答题

已知△ABC三内角A、B、C所对边分别为a，b，c面积为S且满足2S=c²-（a-b）²和a+b=2．

（1）求sinC的值；

（2）求三角形面积S的最大值．

答案

（1）根据题意，得

∵S=

absinC，且2S=c²-（a-b）^{2
∴c²-（a-b）²=absinC，化简得a²+b²-c²=ab（2-sinC）
∵根据余弦定理，得a²+b²-c²=2abcosC，
∴2-sinC=2cosC，与sin²C+cos²C=1消去cosC，
得
5
4
sin²C-sinC=0，
∵C是三角形内角，得sinC是正数
∴
5
4
sinC-1=0，解之得sinC=4
5；
（2）∵边a、b满足a+b=2
∴ab≤（
a+b
2
）²=1，得ab的最大值为1（当且仅当a=b=1时取等号）
因此，△ABC面积S=
1
2
absinC≤1
2sinC=2
5
∴当且仅当a=b=1时，△ABC面积S的最大值为
2
5}