问题
解答题
已知△ABC三内角A、B、C所对边分别为a,b,c面积为S且满足2S=c2-(a-b)2和a+b=2.
(1)求sinC的值;
(2)求三角形面积S的最大值.
答案
(1)根据题意,得
∵S=
absinC,且2S=c2-(a-b)21 2
∴c2-(a-b)2=absinC,化简得a2+b2-c2=ab(2-sinC)
∵根据余弦定理,得a2+b2-c2=2abcosC,
∴2-sinC=2cosC,与sin2C+cos2C=1消去cosC,
得
sin2C-sinC=0,5 4
∵C是三角形内角,得sinC是正数
∴
sinC-1=0,解之得sinC=5 4
;4 5
(2)∵边a、b满足a+b=2
∴ab≤(
)2=1,得ab的最大值为1(当且仅当a=b=1时取等号)a+b 2
因此,△ABC面积S=
absinC≤1 2
sinC=1 2 2 5
∴当且仅当a=b=1时,△ABC面积S的最大值为2 5