问题 解答题

已知△ABC三内角A、B、C所对边分别为a,b,c面积为S且满足2S=c2-(a-b)2和a+b=2.

(1)求sinC的值;

(2)求三角形面积S的最大值.

答案

(1)根据题意,得

∵S=

1
2
absinC,且2S=c2-(a-b)2

∴c2-(a-b)2=absinC,化简得a2+b2-c2=ab(2-sinC)

∵根据余弦定理,得a2+b2-c2=2abcosC,

∴2-sinC=2cosC,与sin2C+cos2C=1消去cosC,

5
4
sin2C-sinC=0,

∵C是三角形内角,得sinC是正数

5
4
sinC-1=0,解之得sinC=
4
5

(2)∵边a、b满足a+b=2

∴ab≤(

a+b
2
2=1,得ab的最大值为1(当且仅当a=b=1时取等号)

因此,△ABC面积S=

1
2
absinC≤
1
2
sinC=
2
5

∴当且仅当a=b=1时,△ABC面积S的最大值为

2
5

选择题
单项选择题