问题 填空题

已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R),给出下列四个命题:

①f(x)必是偶函数;

②当f(0)=f(2)时,f(x)的图象必关于x=1对称;

③若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞]上是增函数;

④f(x)有最大值|a2-b|.

其中所有真命题的序号是______.

答案

当a≠0时,f(x)不具有奇偶性,①错误;

令a=0,b=-2,则f(x)=|x2-2|,

此时f(0)=f(2)=2,

但f(x)=|x2-2|的对称轴为y轴而不关于x=1对称,②错误;

又∵f(x)=|x2-2ax+b|=|(x-a)2+b-a2|,图象的对称轴为x=a.

根据题意a2-b≤0,即f(x)的最小值b-a2≥0,

f(x)=(x-a)2+(b-a2),显然f(x)在[a,+∞]上是增函数,

故③正确;

又f(x)无最大值,故④不正确.

答案:③.

填空题
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