问题
解答题
已知函数f（x）=-x3+ax2-4（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）当a=2时，对于任意的m∈[-1，1]，n∈[-1，1]求f（m）+f′（n）的最小值；
（2）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0求a的取值范围．
答案
（1）由题意知f（x）=-x3+2x2-4，f′（x）=-3x2+4x
令f′（x）=0，得x=0或4 3
当x在[-1，1]上变化时，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：
∴对于m∈[-1，1]，f（m）的最小值为f（0）=-4，
∵f′（x）=-3x2+4x的对称轴为x =
且抛物线开口向下2 3
∴对于n∈[-1，1]，f′（n）的最小值为f′（-1）=-7，
∴f（m）+f′（n）的最小值为-11．
（2）∵f′（x）=-3x（x-
）2a 3
①若a≤0，当x＞0，时f′（x）＜0
∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4∴当a≤0时，不存在x0＞0，使f（x0）＞0
②若a＞0，则当0＜x＜
时，f′（x）＞0，2a 3
当x＞
时，f′（x）＜0从而f（x）在（0，2a 3
]上单调递增，在[2 3
，+∞）上单调递减，2a 3
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）max=f（
）=-2a 3
+8a3 27
-44a2 9
根据题意，
-4＞0，即a3＞27，解得a＞34a3 27
综上，a的取值范围是（3，+∞）