问题
解答题
设函数f（x）=x2-2tx+4t3+t2-3t+3，其中x∈R，t∈R，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）讨论g（t）在区间[-1，1]内的单调性；
（3）若当t∈[-1，1]时，|g（t）|≤k恒成立，其中k为正数，求k的取值范围．
答案
（1）根据题意得f′（x）=2x-2t=0得x=t，当x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数；当x＞t时，f′（x）＞0，函数为减函数．则f（x）的最小值g（t）=f（t）=4t3-3t+3；
（2）求出g′（t）=12t2-3=0解得t=±
，1 2
当-1≤t＜-
或1 2
≤t≤1时，g′（t）＞0，函数为增函数；1 2
当-
≤t≤1 2
时，g′（t）＜0，函数为减函数．所以函数的递增区间为[-1，-1 2
]与[1 2
，1]，递减区间为[-1 2
，1 2
）；1 2
（3）由（2）知g（t）的递增区间为[-1，-
]与[1 2
，1]，递减区间为[-1 2
，1 2
）；1 2
又g（1）=4，g（-
）=41 2
∴函数g（t）的最大值为4，
则g（t）≤4．
∵当t∈[-1，1]时，|g（t）|≤k恒成立，
∴k≥4