问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）证明函数具有奇偶性； （2）证明函数在[0，1]上是单调函数； （3）求函数在[-1，1]上的最值． |
答案
（1）由题意，对任意设x∈R都有f(-x)=
=--x 1+(-x)2
=-f(x)，x 1+x2
故f（x）在R上为奇函数；（3分）
（2）任取x1，x2∈[0，1]且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=
，(x1-x2)(1-x1x2) (1+x12)(1+x22)
∵x1，x2∈[0，1]且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2＜1，1+x12＞0，1+x22＞0， ∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)
故在[0，1]上为增函数；（7分）
（3）由（1）（2）可知f（x）在[-1，1]上为增函数，
故f（x）在[-1，1]上的最大值为f(1)=
，最小值为f(-1)=-1 2
．（10分）1 2