问题
选择题
如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（ ）
A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4
B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4
C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4
D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤4
答案
由lg（x+y）=lgx+lgy，得
，x＞0 y＞0 x+y=xy
由x+y=xy得：x+y=xy≤(
)2=x+y 2
，(x+y)2 4
解得：x+y≥4．
再由x+y=xy得：y=
（x≠1）．x x-1
设x1＞x2＞1，
则f(x1)-f(x2)=
-x1 x1-1
=x2 x2-1
=x1x2-x1-x2x1+x2 (x1-1)(x2-1)
．x2-x1 (x1-1)(x2-1)
因为x1＞x2＞1，
所以x2-x10，x2-1＞0．
则
＜0，即f（x1）＜f（x2）．x2-x1 (x1-1)(x2-1)
所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，
综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．
故选C．