已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=22．记动

问题解答题

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=2

．记动点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求

•

的最小值．

答案

（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

所求方程为：

=1（x＞0）

（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x₀，

此时A（x₀，

-2

），

B（x₀，-

-2

），

•

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，

代入双曲线方程

=1中，得：

（1-k²）x²-2kbx-b²-2=01°

依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则

△=4k2b2-4(1-k2)•(-b2-2)＞0

x1+x2=

2kb

1-k2

＞0

x1x2=

b2+2

k2-1

＞0

，

解得|k|＞1又

•

=x₁x₂+y₁y_{2
=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=
2k2+2
k2-1
=2+4
k2-1
＞2
综上可知
OA
•
OB
的最小值为2．}