问题
解答题
某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为f（x）=|
（Ⅰ）令t=
（Ⅱ）求函数M（a）的解析式； （Ⅲ）为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是否超标？ |
答案
（Ⅰ）因为x∈[0，24]，所以
∈[0，πx 32
]，所以sin(3π 4
)∈[0，1]，故t∈[0，πx 32
]．1 2
（Ⅱ）因为a∈[
，1 3
]，所以0≤a-3 4
≤1 3
＜5 12
，1 2
所以f(t)=|t-(a-
)|+2a=1 3
．-t+3a-
，t∈[0，a-1 3
]1 3 t+a+
，t∈[a-1 3
，1 3
]1 2
当t∈[0，a-
]时，f(t)max=f(0)=3a-1 3
；1 3
当t∈[a-
，1 3
]，f(t)max=f(1 2
)=1 2
+a．5 6
而f(0)-f(
)=2a-1 2
，7 6
当
≤a≤1 3
，f(0)≤f(7 12
)，M(a)=f(1 2
)=1 2
+a；5 6
当
＜a≤7 12
，f(0)＞f(3 4
)，M(a)=f(0)=3a-1 2
．1 3
所以M(a)=
，
+a，a∈[5 6
，1 3
]7 12 3a-
，a∈(1 3
，7 12
]3 4
（Ⅲ）由（Ⅱ）知M（a）的最大值为
，它小于2，所以目前市中心的综合污染指数没有超标．23 12