问题
解答题
| 设二次函数 y=f（x）=ax2+bx+c的图象以y轴为对称轴，已知a+b=1，而且若点（x，y）在 y=f（x）的图象上，则点（x，y2+1）在函数 g（x）=f[f（x）]的图象上． （1）求g（x）的解析式； （2）设F（x）=g（x）-λf（x），问是否存在这样的l（λ∈R），使f（x）在(-∞，-
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答案
（1）∵二次函数 f（x）=ax2+bx+c的图象以y轴为对称轴，
∴b=0，又∵a+b=1，∴a=1，
∴f（x）=x2+c，
∵点（x，y）在 y=f（x）的图象上，则点（x，y2+1）在函数 g（x）=f[f（x）]的图象上，
∴y2+1=（x+c）2+c，即（x2+c）2+1=（x+c）2+c，
c=1，
∴f（x）=x2+1；g（x）=（x2+1）2+1；
（2）假设存在λ，使得F（x）在（-∞，-
)内是减函数，在（-2 2
，0）内是增函数，2 2
而-
是函数的一个极小值点，F（x）=（x2+1）2+1-λ（x2+1），2 2
F′（x）=4x（x2+1）-2λx，∴F（-
）=0，解得λ=3，2 2
经检验知λ=3复合题意，
故λ=3．